SAYMANIN TEMEL KURALLARI

Toplama Kuralı :

Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(A)= m , s(B)= n ve A ile B’nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı s(A) + s(B)= m+ n’ dir. O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir

Örnek:5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir? (ya bir bay veya bir bayan seçilecek)

Çözüm:5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.

Çarpma Kuralı :

n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3,..., an ile gösterilen n tane nesne için (a1, a2)’ ye sıralı ikili, (a1, a2, a3)’e sıralı üçlü ... (a1, a2, a3,..., an )’e sıralı n’li denir.
Sıralı ikililerin kümesini A2 , Sıralı üçlülerin kümesini A3 , Sıralı dörtlülerin kümesini A4 .... şeklinde gösterelim. A1 , A2 , A3 , ... , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n1 , n2 , n3 , ... , nr olsun. Bu durumda s(A1.A2.A3...Ar)=s(A1).s(A2).s(A3)...s(Ar)= n1.n2.n3...nr olur.
Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklayalım:
İki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.
Örnek:5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan kaç yol-la seçilebilir? (hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )
Çözüm :5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.

FAKTÖRİYEL

1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına “n faktöriyel” denir ve n! şeklinde gösterilir.

1.2.3.....n = n!     0!=1     1!=1     2!=1.2 = 2     3!=1.2.3= 6     4!=1.2.3.4 = 24

Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!                                                                                        
 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!                9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.6.5! gibi.

Örnek: 15!/13! =?

Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz.

15! /13! = 15.14.13!/13! =15.14=210

Örnek: n! (n−2)! =?

Çözüm : n ve (n−2) arasında n sayısı (n−2) den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz.

n! (n−2)! = n.(n−1).(n−2)! (n−2)!=n.(n−1)

Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.

Örnek: 4 tane ampul 4 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?

Çözüm : Açıklayıcı olması için ampullere A,B,C ve D yerlere 1, 2, 3 ve 4 diyelim. A'dan başlayarak ampulleri takalım. A ampulü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampulünün takılması için 4 yol var. A ampulünü taktıktan sonra 3 ampul ve üç yer kalır. B ampulü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampulünün takılması için 3 yol var. A ve B ampulünü taktıktan sonra 2 ampul ve 2 yer kalır. C ampulü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampulünün takılması için 2 yol var. A,B ve C ampulünü taktıktan sonra 1 ampul ve 1 yer kalır. D ampulü 1 yere takılabilir. Yani D ampulünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampul yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.

Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.

PERMÜTASYON :

r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı   r’lilerine A kümesinin r’ li permütasyonları denir. n elemanlı A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı P(n,r)= n! (n−r)! formülü ile bulunur.

Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3’ ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?

Çözüm: A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7 , üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur.

Bu mendiller ; P(7,3)= 7! (7−3)! = 7! 4! = 7.6.5.4! 4! =7.6.5=210 farklı şekilde dağıtılabilir.

UYARI:n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı, P(n,n)= n! (n−n)! = n! 0! =n!

n elemanlı bir kümenin 1’li permütasyonlarının sayısı, P(n,1)= n! (n−1)! =n

TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ....., nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n= n1+ n2+ .......... + nr olmak üzere bu n tane nes-nenin n’li permütasyonlarının sayısı,
(n1 ,n2 , … , nr ) = n! / n1!.n2!...nr ‘ dir.
Örnek:“BABACAN” sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm :2 tane B harfi olduğu için (n,1)= 2
3 tane A harfi olduğu için (n,2)= 3
1 tane C harfi olduğu için (n,3)= 1 ve
1 tane N harfi olduğu için (n,4)= 1 olsun.
Buna göre farklı sözcüklerin sayısı  7! 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 2.1.3.2.1.1 =420

KOMBİNASYON 

r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r ’ li kombinasyonu denir. n elemanlı kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı, C(n,r), C nr ya da nr ile gösterilir. n elemanlı kümenin r 'li kombinasyonlarının sayısı, C(n,r)= n! (n−r)!.r! formülü ile bulunur.

UYARI:
1)C(n,x) = C(n,y) ise x=y veya x+y=n dir.
2)C(n,0) =1
3)C(n,1) =n
4)C(n,n) =1

UYARI: Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark şöyledir.
Permütasyon sıralama veya diziliş söz konusudur. seçimden çok, seçilmiş olunan nesnelerin sıralanışı veya dizilişi önemlidir. Kombinasyonda ise, seçim veya seçme söz konusudur. Sıralama ve diziliş yoktur, nesneleri seçmiş olmak yeterlidir.

Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.
a) Kaç farklı şekilde dizilebilir?
b) Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
c) Fizik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
d) Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
e) Kenarlara fizik kitabı gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm :a) Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap diğer 7 kitap arasından biri olacağı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap diğer 6 kitap arasından biri olacağı için 6 yolla, .. bu şekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldığından 1 yolla belirlenir.Buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yan yana dizilişi 8.7.6.5.4.3.2.1= 8! yolla belirlenebilir.
b) Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düşünülürse, bunların yan yana dizilişi 2! yolla olur. (matematik kitapları sağda fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sağda ).5 Matematik kitabının kendi arasındaki dizilişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.
c) Fizik kitapları yan yana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla ,5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yan yana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizilebilir.
d) 8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B’yi bir kitap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu düşünülebilir. Bunların yan yana dizilişi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir.
e) 1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ...., 7. sıralara diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.

Örnek:5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.

a) Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

b) Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?

c) Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm :a) 8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır.

b) Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir.

c) Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3’ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3’ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı,

8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.

DÖNEL (DAİRESEL) SIRALAMA :

n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı   (n-1)! olur.

Örnek:7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.

a) Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?

b) Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?

c) Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?

Çözüm : a) 7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir.

b) Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.

c) Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması söz konusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında

(6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir.